三十年前，数学家威廉瑟斯顿阐述了一个宏伟的愿景：所有可能有限的三维形状的分类。
瑟斯顿是菲尔兹奖得主，他在普林斯顿大学和康奈尔大学度过了他的大部分职业生涯，他有一种神奇的能力来想象难以想象的东西：不仅仅是生活在我们普通的三维空间里的形状，还有那些涉及到这种形状的远远超出形状的动物园。复杂的曲折，他们只能适应更高维度的空间。在其他数学家看到早期的质量时，瑟斯顿看到了结构：对称性，表面，不同形状之间的关系。
“根据多年的学校教育，许多人都有一种印象，即数学是一个严峻且正式的主题，涉及复杂且最终令人困惑的规则，”他在年写道。“好的数学与此完全相反。数学是人类理解的艺术。......当我们在整个大脑中感受到它时，数学会唱歌。“
瑟斯顿的愿景的核心是两种看似不同的研究三维形状的方式之间的结合：几何，熟悉的角度，长度，面积和体积以及拓扑结构，它们研究不具有的形状的所有属性。取决于精确的几何测量-如果形状像SillyPutty那样被拉伸和扭曲，则性能保持不变。
威廉瑟斯顿于年在伯克利。瑟斯顿于8月去世，享年65岁。对于拓扑学家来说，煎锅的表面相当于桌子，铅笔或足球的表面;咖啡杯的表面相当于甜甜圈表面或圆环面。从拓扑学家的角度来看，二维形状的多样性-即表面-基本上归结为一个简单的类别列表：球状表面，环形表面，以及像圆环一样但有多个孔的表面。（我们大多数人认为球体和圆环是三维的，但是因为数学家认为它们是空心表面，所以他们认为它们是二维物体，用表面积来衡量，而不是体积。）
瑟斯顿的关键见解是，在几何和拓扑的结合中，可以理解三维形状或“三流形”。正如包含煎锅和铅笔表面的“双流形”的拓扑类别也包含一个完美的球体一样，瑟斯顿推测许多类别的三流形包含一个范例，一个三维流形，其几何形状如此完美，哥伦比亚大学的沃尔特·诺伊曼喜欢这样说，它是如此的统一，如此美丽，它“响起了钟声。”而且，瑟斯顿推测，没有这种样本的形状可以被分成几块。
在年的一篇论文中，瑟斯顿提出了这个“几何化猜想”作为一组23个关于三流形的问题的一部分，这些问题为数学家提供了一个全面理解三维形状的路线图。（他的名单有24个问题，但其中一个仍然没有得到解决，更像是一条有趣的小巷，而不是主干道。）
“瑟斯顿在提出正确的问题方面拥有巨大的才能，”加州理工学院数学家弗拉基米尔·马科维奇说。“任何人都可以提出问题，但是很少有问题能够带来洞察力和美感，而瑟斯顿的问题总是如此。”
这些问题激发了新一代数学家的兴趣，其中数十人选择在瑟斯顿的指导下进行研究生学习。约翰斯·霍普金斯大学的理查德·布朗写道，瑟斯顿的数学“儿童”体现了他的风格。“他们似乎看到数学就像一个孩子看待狂欢节的方式：充满了奇迹和喜悦，对每一个新发现着迷，并且很乐意成为整个场景的一部分。”
在瑟斯顿的开创性论文出现后的几十年里，数学家们遵循他的路线图，不是因为可能的应用而是因为认识到三个流形在形状研究中占据了一席之地。二维形状有点单调，易于可视化和分类。四维，五维和更高维度的形状基本上是不可篡改的：可能性的范围是如此巨大，以至于数学家限制了他们理解它们的专门子类的野心。相比之下，对于三维形状，结构是神秘且令人难以置信的，但最终是可知的。
随着瑟斯顿的文章今年迎来其成立30周年，23个主要问题中的四个问题都得到了解决，包括几何化猜想，俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼于年在现代数学的一个信号成就中证明了这一点。然而，这四个未解决的问题固执地抵制了证据。
耶鲁大学的YairMinsky说：“我们无法解决这么长时间的事实意味着事情正在发生。”
最后，3月份，加州大学伯克利分校的伊恩·阿戈尔通过宣布“明智猜想”的证据，使数学界电气化，这一问题一举解决了瑟斯顿问题的最后四个问题。
数学家称结果是一个时代的结束。
“瑟斯顿在他的论文中阐述的三流形的愿景，当时一定看起来非常精彩，现在已经完全实现了，”加州理工学院的DannyCalegari说。“他的愿景在各方面都得到了极大的证明：每一个细节都证明是正确的。”
“我曾经觉得我有一些独特的知识和某些思维方式，”瑟斯顿在今年8月65岁去世前几个月获得斯蒂尔数学奖时写道。“到达不再适用的阶段是非常令人满意的-许多人已经接受了我的思维方式，许多人已经证明了我曾经尝试过但未能证明的定理。”
Agol的结果意味着有一个简单的配方可以构建所有紧凑的双曲线三流形-一种尚未完全阐述的三维形状。
伦敦大学学院的亨利威尔顿说：“从精确的意义上说，我们现在明白了所有三个流形的样子。”“这是数学上一个巨大成功故事的高潮。”
表面研究
瑟斯顿的计划尝试用于三维流形，这是数学家在一个多世纪前为二维流形成功完成的。作为理解三维流形的预热，让我们看看“紧凑，可定向”表面的分类（有限的表面没有穿孔或气体和一致的方向感）。
为了解决这个分类问题，数学家表明，给定任意表面，可以通过沿曲线切开它直到表面完全打开成扁平多边形来逐步简化它。
很容易看出如何用一个环面来做这个：首先沿着图1中的环A切开它，产生一个圆柱体。接下来，沿着环B切割，将圆柱体展平成正方形。看起来有点困难，但沿着图2中的四条曲线切割将双圆环（带有两个孔的圆环）转换为八边形。类似地，对于任何n-holed环面，我们可以沿着2n个环切割以将表面平整成4n-gon。
图1.沿着环A切开圆环，产生一个圆柱体。沿着环B进一步切割，将圆筒展开成方形。给定一个任意的，未识别的表面，我们可以尝试通过以类似的方式解剖它来简化它（并最终识别它）。如果表面不是球体，拓扑学家已经证明它必须包含一些嵌入的环（不与自身相交的环），这些环不能被拉到单个点，类似于环面上的环A和B.沿着其中一个环路解剖表面会消除一些表面有趣的拓扑特征。数学家已经表明，在我们将曲面缩小为平面多边形之前，我们只能以这种方式切割有限次数。
一旦我们将表面简化为多边形，就可以非常简单地看到当我们重新粘合两侧以恢复原始表面时，我们必须生成圆环，双环或三环，等等。毕竟，第一次胶合将多边形变成隧道形表面，然后每次后续胶合将在表面上引入新的隧道形手柄或简单地缝合一些开放的接缝。当我们完成时，结果是具有一些孔的圆环面。
图2.沿着环A，B，C和D切割双圆环产生八边形。这种方法不仅仅表明表面在拓扑上等同于某种类型的球体或圆环：它还提供了一种赋予表面简单，均匀几何结构的方法。
一个球体显然已经具有统一的几何结构：无论你站在表面的哪个位置，它的几何形状看起来都是一样的。相比之下，甜甜圈表面不是均匀的：甜甜圈外缘上的区域以一种让人想起球体的方式弯曲，而甜甜圈内圈上的区域更像是马鞍表面。
无论你如何试图在太空中放置一个圆环-无论你做多少拉伸和扭曲-都无法使它的几何在每一点看起来都一样。有些部件会像球体一样弯曲，有些像马鞍一样，有些部分可能是扁平的。
然而，可以在环面上配备一个在每个点都相同的抽象几何结构：简单地声明在每个小圆环上，通过在正方形上进行相应的测量来测量距离和角度，如我们已经看到，圆环可以建造。在普通空间内建立物理环面是不可能的，其长度和角度与这个抽象规则相匹配，但这种长度和角度的定义在内部是一致的。由于该正方形具有普通的平坦（欧几里德）几何形状，我们说圆环可以配备欧几里德结构。具有这种几何形状的圆环类似于视频游戏，其中当生物从右侧的屏幕退出时，它再次出现在左侧，当它从屏幕顶部退出时，它再次出现在底部。
然而，如果我们试图为双圆环做同样的事情，我们就会陷入困境。回想一下，我们可以通过粘合八边形的边缘来构建双环面。如果我们声明双圆环上的几何体将模仿八边形上的几何体，我们就会在八角形的角落处遇到问题。在八角形被粘合成双圆环之后，角点全部粘在一起形成双圆环上的单个点。八个八角形角在那个点相遇，每个角有度的角度测量，总共度，而不是通常的度。
因此，如果我们试图给双圆环提供与八边形相同的几何结构，我们最终会得到一个双圆环，除了一个点之外，其他地方都有普通的欧几里德几何形状，表面像一个带有尖峰的软帽一样弯曲。（当我们粘上一个正方形来制作圆环时，角点不是问题：我们粘合四个90度角以获得完美的度。）
为了在双圆环上的角点处获得平滑的几何结构，我们需要八角形的八个角中的每一个贡献45度而不是度。值得注意的是，这样的八边形确实存在，但它不是存在于普通的欧几里得平面中，而是存在于称为双曲面圆盘的另一种几何结构中：第三种几何形状，与球面或欧几里德几何一样均匀且内部一致，但是，因为它更难以想象，直到19世纪初，数学家才发现它。
粗略地说，如果你声明图3中的所有鱼都是相同的大小，那么双曲线几何就是你得到的。就好像图3实际上是通过扭曲镜头的双曲线圆盘的图像，使得边界附近的鱼看起来比中间的鱼要小得多。在理论上位于镜头另一侧的真实双曲盘中，鱼的大小都相同。
在普通的空间里，没有办法制作一个漂亮，平滑的双曲线圆盘，这样鱼的真实尺寸就相同了。但是再一次，从一个抽象的角度来看，鱼尺寸规则产生了一个内部一致的几何形状，并且在每个点看起来都是一样的-不是在看到扭曲的镜头的外人看到的，而是从一个人的角度来看。生活在双曲线磁盘中。
在双曲线几何中，两点之间的最短路径或“测地线”是穿过尽可能少的鱼从一点到另一点的路径。事实证明，这样的路径始终是垂直于磁盘边界的半圆形;通过鱼刺的半圆就是例子。从我们扭曲的外部视角来看，这样的路径看起来是弯曲的，但对于内部人员来说，这些路径是“直线”：沿着其中一条路行驶，你将永远不必转动方向盘，就像瑟斯顿经常说的那样。与欧几里德平面相比，其中平行线始终保持相同的距离，在双曲面盘中，两条不相交的线可以非常快速地彼此分开。
通过双曲线几何体的镜头观察时，所有的鱼都是相同的大小。沿着鱼类刺的曲线是双曲线直线或“测地线”。从双曲线几何的角度来看，图4中的形状都是具有直边的正八边形。在其中一个八角形中，角度都是45度-正是我们需要的双圆环。如果我们适当地粘贴这个八边形的边，结果将是一个双圆环，具有完美，均匀的双曲线结构。
同样，我们可以装备具有双曲线结构的三重圆环。可以通过粘合12边多边形的边来制作三重圆环，因此如果我们构造一个内部角度都是30度的双曲十二边形，其双曲线几何可以平滑地传递到三圆环。继续这样，我们可以装备一个四孔环面，一个五孔圆环等，具有双曲线几何形状。我们对紧凑曲面的分类变为：一个表面具有球面几何（球体），一个表面具有欧几里德几何（圆环面），无限多个表面具有双曲几何（所有圆环具有多个孔）。
在过去的一个世纪中，这种分类法为数学家提供了一种非常富有成效的方法，可以将关于曲面的拓扑问题转化为几何问题，反之亦然。表面分类是二维形状研究的基本概念，这一发现以后续研究为出发点。
双曲空间中的常规八边形，例如上图所示，可以具有大于零且小于度的任何内角度量。棕色八边形，其内部角度均为45度，可以粘在一起形成具有平滑双曲线几何形状的双圆环。下一个维度
三流形比两流形更加多样化，问题相应更难。即使是一个简单的问题就像着名的Poincaré猜想一样-它询问球体的三维版本是否是唯一紧凑的三维形状，每个环可以拉紧到一个点而不会被一个洞包围-亨利·庞加莱于年提出这一问题后，近一个世纪以来一直没有得到解决。
尽管如此，瑟斯顿大胆地推测，应该可以创建一个类似于二维形状的三维形状的分类法。
二维欧几里得，球面和双曲线几何形状各自具有三维对应物。但从三个方面来说，这些并不是唯一的“漂亮”几何形状。例如，在某些方向上存在双曲线或球形的混合几何形状，而在其他方向上存在欧几里得（Euclidean）。总而言之，维度三中有八种不同类型的几何形状是均匀的，这意味着几何在空间中的每个点看起来都是相同的。
瑟斯顿推测，就像表面一样，三歧管可以赋予自然的几何结构。具体来说，他提出如果你以一种特殊的方式将任何紧凑的三歧管分割成块，每个块可以赋予八个几何中的一个。
“目标是在三个维度上完全统一拓扑和几何，”明斯基说。
证明这种“几何化猜想”的一种自然方法是尝试做类似于我们对曲面所做的事情，我们沿着曲线切割，直到我们切开所有有趣的拓扑特征并将曲面缩小为平面多边形。对于三歧管，相应的方法是沿着表面将其切开，直到希望它缩小为多面体，其相对的侧面可以粘合在一起以恢复原始形状。然后，如果我们可以使用正确的几何体构建多面体，我们可以将该几何体转移到原始形状，就像我们对表面所做的那样。
请记住，为了使这个适用于曲面，我们切割的每条曲线必须满足两个属性：曲线永远不应该跨越自身（在数学术语中，它应该是“嵌入式”），它应该是我们称之为“拓扑上有趣的”，“意味着它缠绕在表面的某些拓扑特征上，不能收紧到一个点（这个要求确保沿着曲线切割可以简化表面拓扑）。
年，数学家沃尔夫冈·哈肯证明，确实可以将三流形简化为多面体，条件是三流形包含一个可以满足两个条件的表面：必须嵌入，必须“不可压缩的，“意味着表面上每条拓扑上有趣的曲线在周围三个流形的更大背景中也具有拓扑意义。
因此，例如，圆环在普通的三维空间中不是不可压缩的，因为从圆环的角度来看，从圆环的孔中浸入的环是拓扑上有趣的，但是在完整的三维空间中它可以压缩到一个点。相比之下，圆环在三歧管内是不可压缩的，只需稍微加厚圆环表面，使其不再无限薄。为了不可压缩，表面的每个拓扑特征必须真实地反映三个流形的固有拓扑中的一些。具有嵌入的不可压缩表面的三歧管现在称为哈肯流形。
如果我们的三歧管确实有一个嵌入的，不可压缩的表面，那么沿着这个表面切割会切开一些三歧管的有趣拓扑，留下一个更简单的流形。更重要的是，哈肯表明，只要歧管包含一个这样的表面，切割产生的新歧管本身就是哈肯：它将再次具有嵌入的，不可压缩的表面以便切割。哈肯表示，经过有限数量的这些步骤后，原始流形的所有有趣的拓扑特征都将被切除，留下一个多面体。
在20世纪70年代后期，瑟斯顿表明，有可能将得到的多面体赋予八个三维几何中的一个，使得几何形状平滑地传递到重新胶合的多面体，在多面体的角落和边缘处完美地结合在一起。。换句话说，瑟斯顿证明了他对流形的几何化猜想，其标准分解产生了所有哈肯流形的块。
不幸的是，给定一个任意紧凑的三流形，不能保证它确实会有这样的表面。事实上，在20世纪70年代末和80年代初期，瑟斯顿说服了三流形群体，包含嵌入的不可压缩表面（哈肯流形）的三流形是例外，而不是规则。
弄清楚如何证明非哈肯流形的几何化猜想使数学家难倒二十多年。最后，在年，佩雷尔曼提出了他的证据，该证据借鉴了大多数瑟斯顿的追随者所研究的数学领域。（一路上，佩雷尔曼的证据解决了具有百年历史的庞加莱猜想，导致克莱数学研究所在年向他提供了一百万美元的奖金-由于相当复杂的原因，他立即拒绝了。）
佩雷尔曼的标志性证明实现了瑟斯顿统一拓扑和几何的梦想。现在关于三流形的每个拓扑问题都有几何对应，反之亦然。但佩雷尔曼定理仍然没有解决许多关于什么样的三流形存在的重要问题。
在对紧凑的双流形（表面）进行分类时，数学家不仅能够证明每个表面都具有几何结构，而且能够制作出每个可能的双流形的完整列表。在第三维中，缺乏这样的清单。
八个三维几何中的七个-除了双曲线几何之外-都相当容易理解，甚至在佩雷尔曼的工作之前，三流形拓扑学家已经得出了可以承认这七种几何中的一种的流形类型的完整描述。这种形状相对简单且很少。
但就像表面一样，在第三维中，事实证明大多数流形实际上是双曲线的。与其他七种几何形状相比，数学家对双曲线三流形的广泛可能性有着更为细致的把握。
“在八种几何中，双曲流形是最神秘和最丰富的，”巴黎PierreetMarieCurie大学的NicolasBergeron说。
佩雷尔曼的结果告诉数学家，双曲线流形确实是最后的边界-唯一可以理解的三流形。但它并没有告诉他们这些双曲线形状究竟是什么样子。
封面故事
再一次，数学家们能够转向瑟斯顿的开创性论文寻求指导。在他着名的问题清单上有关于双曲三流形特征的许多猜想，包括两个直接说明这些流形可能是什么样的猜想：“虚拟哈肯”猜想和“虚拟纤维”猜想。
虚拟哈肯猜想提出，每个紧致双曲三流形在准确意义上几乎是哈肯：只需通过以特定方式展开有限次数，就可以将流形转换为哈肯流形。这种新的展开歧管被称为原始流形的“有限覆盖”。
数学家说，一个流形N覆盖另一个流形M，如果粗略地说，它可以将N包裹在M周围一定次数（可能是无限次），这样M的每个部分都被覆盖的次数与其他部分相同。。作为一种覆盖物，这种包装还应该具有各种其他不错的特性-例如，在这种包裹过程中，N不应该自身折叠或撕裂。M的每一小块都被盖子N中的一堆相同副本覆盖。
例如，图5中的六瓣花覆盖了三瓣花：简单地将六瓣花包裹在三瓣花周围两次。三瓣花上的每个点都被六瓣花上的两个点覆盖;数学家称之为双层覆盖物。
同样，一个无限长的圆柱体覆盖一个圆环：只需将圆柱均匀地环绕圆环和圆周环绕，无数次（见图6）。圆环上的每个点都被覆盖：圆环上的环A被圆柱体上的无限集合均匀间隔的环覆盖，而环B在圆柱上展开成为沿圆柱长度延伸的线。
歧管的拓扑结构及其覆盖层密切相关。要从n-cover的盖子重建流形，您只需将盖子折叠在自身上n次。同样地，为了从歧管重建封面，您切开歧管，制作n份副本，并将副本沿着它们的边界粘合在一起（您获得的特定封面可能取决于您的胶合选择）。
在展开其他人的同时，封面可以保留一些歧管的拓扑特征。例如，无限圆柱体会记住环A是圆环中的闭环，但它忘记了环B也是一个闭环。
六瓣花覆盖三瓣花，缠绕两次。这个展开过程正是使瑟斯顿希望，在给定三流形的情况下，可能有可能产生一个有限的覆盖层，即哈肯。正如我们所讨论的，给定一个任意紧凑的双曲三流形，没有理由期望它是Haken（也就是说，有一个嵌入的，不可压缩的表面）。然而，在年，德国数学家FriedhelmWaldhausen推测这样的歧管至少应该包含一个不可压缩的表面，尽管表面可能会在某些地方穿过，而不是嵌入。
一个无限长的圆柱体通过一次又一次地缠绕它来覆盖环面。圆环上的环A“升起”到圆柱体上的无限红圈。环B在圆筒中展开成为绿线。圆环上的点P升起到圆柱上无限的蓝点集合。如果确实如此，瑟斯顿认为，可能存在一个有限的覆盖，其中表面以一种消除其自身交叉点的方式展开。有限的封面通常可以实现这种简化。例如，由于图7中的三瓣花中的曲线围绕中心孔两次，所以没有任何拉伸和移位可以防止它在某处交叉。但是如果我们从选择的点P开始在六瓣花中展开这条曲线，那么得到的红色曲线（数学家称之为原始曲线的“升力”）仅在中心孔周围进行一次并且从不与自身相交。（有一个第二个升力，蓝色曲线，它与两个点上的红色曲线相交，覆盖三瓣花的交点。）
在他年的论文中，瑟斯顿提出，给定一个紧凑的，双曲线的三流形，应该可以进行类似的展开以在一些有限的覆盖中产生嵌入的表面-换句话说，三流形应该是“虚拟的”哈肯。
正如我们所讨论的，哈肯流形可以通过以特定方式粘合多面体的边界壁来构建。那么虚拟的Haken猜想意味着，任何紧凑的双曲三流形都可以通过很好地粘合多面体，然后通过将所得到的形状包裹在其自身周围有限次数来构建。
瑟斯顿接着提出了一些更强大的东西：任何紧凑的双曲线三流形可能实际上是纤维状的，这意味着它具有“纤维化”的有限覆盖。“圆形上的纤维”（如数学家所说）的歧管被建造通过稍微加厚表面使其成为三维，然后根据任何与两个表面平滑地匹配的布置将内外边界表面粘合在一起，指向点。（这样的胶合不能在普通的空间中实现，没有产生的歧管的一部分穿过它自己，但它仍然可以被抽象地研究。）据说歧管是纤维化的，因为如果你想象伸展出加厚的表面所以边界表面相距很远，然后在将它们粘合在一起之前绘制边界以相互面对，你可以想象得到的歧管就像一个手镯，在手镯的每一个点上都有一个无限薄的表面形状的珠子;这些珠子是“纤维”。
三瓣花中的绿色曲线与自身相交，但它在六瓣花中的两个提升，红色和蓝色曲线，从不相交（尽管它们相互交叉）。每个纤维歧管都是哈肯，但反之则不然。因此，虚拟纤维猜想比虚拟哈肯猜想更强烈，而瑟斯顿则认为它是否确实是真的。“这个可疑的问题似乎有一个肯定的机会得到肯定的答案，”就他在年的论文中愿意这样做而言。
瑟斯顿最初提出虚拟哈肯猜想的早期尝试是为了解决他的几何化猜想，他已经为哈肯三流形证明了这一点。如果虚拟Haken猜想是正确的，那么每个紧凑的三流形都有一个Haken有限覆盖，瑟斯顿希望，使用盖子上的几何结构在原始流形上构建几何结构是可能的。
三十年后，在佩雷尔曼通过非常不同的方法证明了几何化猜想之后，虚拟的哈肯猜想和虚拟的纤维化猜想仍未得到解决。这些以及另外两个相关猜想是瑟斯顿23中唯一没有答案的问题。计算机数据强烈暗示虚拟哈肯猜想是正确的：来自10,多个双曲线三流形的计算机化列表，瑟斯顿和内森邓菲尔德，伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校已经设法为每一个人找到了哈肯有限的封面。但计算证据不是证明。
“当瑟斯顿提出这个问题时，虚拟的哈肯猜想似乎是一个小问题，但它顽固地悬挂在我们对这个领域知之甚少的
